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Theorem rlimclim1 14475
Description: Forward direction of rlimclim 14476. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
rlimclim1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim1.3 (𝜑𝐹𝑟 𝐴)
rlimclim1.4 (𝜑𝑍 ⊆ dom 𝐹)
Assertion
Ref Expression
rlimclim1 (𝜑𝐹𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6362 . . . . . . 7 (𝐹𝑤) ∈ V
21rgenw 3062 . . . . . 6 𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑤) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑤) ∈ V)
4 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5 rlimclim1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑟 𝐴)
6 rlimf 14431 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑟 𝐴𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
98feqmptd 6411 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑤)))
105adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝑟 𝐴)
119, 10eqbrtrrd 4828 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑤)) ⇝𝑟 𝐴)
123, 4, 11rlimi 14443 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
13 rlimclim1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 flcl 12790 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (⌊‘𝑧) ∈ ℤ)
1615peano2zd 11677 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
1716ad2antrl 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
1817, 14ifcld 4275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
1914zred 11674 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ)
2017zred 11674 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
21 max1 12209 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
2219, 20, 21syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
23 eluz2 11885 . . . . . . 7 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1429 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
25 rlimclim1.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2624, 25syl6eleqr 2850 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27 simplrl 819 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ∈ ℝ)
2816zred 11674 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
3019adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
3129, 30ifcld 4275 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32 eluzelre 11890 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3332adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
34 fllep1 12796 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
3527, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
36 max2 12211 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
3730, 29, 36syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
3827, 29, 31, 35, 37letrd 10386 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
39 eluzle 11892 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
4039adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
4127, 31, 33, 38, 40letrd 10386 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧𝑘)
42 breq2 4808 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑘 → (𝑧𝑤𝑧𝑘))
43 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
4443oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) − 𝐴) = ((𝐹𝑘) − 𝐴))
4544fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4645breq1d 4814 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4742, 46imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)))
48 simplrr 820 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
49 rlimclim1.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ dom 𝐹)
5049ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
5125uztrn2 11897 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘𝑍)
5226, 51sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘𝑍)
5350, 52sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
5447, 48, 53rspcdva 3455 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (𝑧𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
5541, 54mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
5655ralrimiva 3104 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
57 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
5857raleqdv 3283 . . . . . 6 (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
5958rspcev 3449 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
6026, 56, 59syl2anc 696 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
6112, 60rexlimddv 3173 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
6261ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
63 rlimpm 14430 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
645, 63syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
65 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
66 rlimcl 14433 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
675, 66syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6849sselda 3744 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
697ffvelrnda 6522 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7068, 69syldan 488 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7125, 13, 64, 65, 67, 70clim2c 14435 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
7262, 71mpbird 247 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  pm cpm 8024  cc 10126  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  cfl 12785  abscabs 14173  cli 14414  𝑟 crli 14415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787  df-clim 14418  df-rlim 14419
This theorem is referenced by:  rlimclim  14476  dchrisumlema  25376
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