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Theorem rlimclim 14485
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
rlimclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 rlimclim.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
6 fdm 6191 . . . . 5 (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 3807 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍𝑍 ⊆ dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑𝑍 ⊆ dom 𝐹)
98adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 14484 . 2 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝐴)
11 climcl 14438 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1211adantl 467 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
132ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 simpr 471 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2772 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
16 simplr 752 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 14450 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑤 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑤))
1918fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)))
2019breq1d 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
21 simplrr 763 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
22 uzssz 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
231, 22eqsstri 3784 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ⊆ ℤ
24 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑍)
2523, 24sseldi 3750 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
26 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤𝑍)
2723, 26sseldi 3750 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑤)
29 eluz2 11894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (ℤ𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑤))
3025, 27, 28, 29syl3anbrc 1428 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ𝑧))
3120, 21, 30rspcdva 3466 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
3231expr 444 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3332ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3433expr 444 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3534reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
36 zssre 11586 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
3723, 36sstri 3761 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℝ
38 ssrexv 3816 . . . . . . 7 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
4035, 39syl6 35 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
4117, 40mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
4241ralrimiva 3115 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
435adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
4437a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
45 eqidd 2772 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑤𝑍) → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑤))
4643, 44, 45rlim 14434 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐹𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
4712, 42, 46mpbir2and 692 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
4810, 47impbida 802 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  abscabs 14182  cli 14423  𝑟 crli 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fl 12801  df-clim 14427  df-rlim 14428
This theorem is referenced by:  climmpt2  14512  climrecl  14522  climge0  14523  caurcvg  14615  caucvg  14617  climfsum  14759  divcnv  14792  dfef2  24918
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