MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim3 14437
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlim3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 14435 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
76adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
85, 7ifcld 4271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9 max1 12221 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
106, 9sylan 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
11 elicopnf 12475 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
138, 10, 12mpbir2and 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
142, 6jca 501 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 simplr 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 max2 12223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
1815, 16, 17syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
1916, 15ifcld 4271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20 simpll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2120sselda 3752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 letr 10337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2316, 19, 21, 22syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2418, 23mpand 675 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧𝑤𝑧))
2524imim1d 82 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2625ralimdva 3111 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2714, 26sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
28 breq1 4790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦𝑧 ↔ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
2928imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3029ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑦 = if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130rspcev 3460 . . . . . 6 ((if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
3213, 27, 31syl6an 663 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3332rexlimdva 3179 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3433ralimdv 3112 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
354, 34sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
36 pnfxr 10298 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
37 icossre 12459 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
386, 36, 37sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
39 ssrexv 3816 . . . . 5 ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
4140ralimdv 3112 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
421, 2, 3rlim2 14435 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
4341, 42sylibrd 249 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
4435, 43impbid 202 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  +∞cpnf 10277  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  +crp 12035  [,)cico 12382  abscabs 14182  𝑟 crli 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-ico 12386  df-rlim 14428
This theorem is referenced by:  rlimresb  14504  rlimsqzlem  14587  rlimcnp  24913  signsply0  30968
  Copyright terms: Public domain W3C validator