Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim0 14458
 Description: Express the predicate 𝐵(𝑧) converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim0.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim0.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlim0 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim0
StepHypRef Expression
1 rlim0.1 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim0.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 0cnd 10245 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 14446 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
5 subid1 10513 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
65fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
76breq1d 4814 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
87imbi2d 329 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
98ralimi 3090 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∀𝑧𝐴 ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
10 ralbi 3206 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
111, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
1211rexbidv 3190 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
1312ralbidv 3124 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
144, 13bitrd 268 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℝ+crp 12045  abscabs 14193   ⇝𝑟 crli 14435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-rlim 14439 This theorem is referenced by:  o1rlimmul  14568  dvfsumrlim  24013  rlimcxp  24920
 Copyright terms: Public domain W3C validator