Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefallfac 14974
 Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefallfac ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Proof of Theorem risefallfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negcl 10493 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
21adantr 472 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℂ)
3 elfznn 12583 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 11546 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 11565 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
7 subcl 10492 . . . . . 6 ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2an 495 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
98mulm1d 10694 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
10 simpll 807 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
116adantl 473 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
1210, 11negdi2d 10618 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-𝑋 − (𝑘 − 1)))
1312negeqd 10487 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
14 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
15 addcl 10230 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
1614, 6, 15syl2an 495 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
1716negnegd 10595 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + (𝑘 − 1)))
189, 13, 173eqtr2rd 2801 . . 3 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
1918prodeq2dv 14872 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
20 risefacval2 14960 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)))
21 fzfi 12985 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
22 neg1cn 11336 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
23 fprodconst 14927 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁))))
2421, 22, 23mp2an 710 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁)))
25 hashfz1 13348 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2625oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(♯‘(1...𝑁))) = (-1↑𝑁))
2724, 26syl5req 2807 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
2827adantl 473 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
29 fallfacval2 14961 . . . . 5 ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
301, 29sylan 489 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
3128, 30oveq12d 6832 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
32 fzfid 12986 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
3322a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
3432, 33, 8fprodmul 14909 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
3531, 34eqtr4d 2797 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
3619, 20, 353eqtr4d 2804 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  ℂcc 10146  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  -cneg 10479  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ...cfz 12539  ↑cexp 13074  ♯chash 13331  ∏cprod 14854   FallFac cfallfac 14954   RiseFac crisefac 14955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855  df-risefac 14956  df-fallfac 14957 This theorem is referenced by:  fallrisefac  14975  0risefac  14988  binomrisefac  14992
 Copyright terms: Public domain W3C validator