MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riotaneg 10999
Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
riotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
riotaneg (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1486 . 2
2 nfriota1 6615 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
32nfneg 10274 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4 renegcl 10341 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
54adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 simpr 477 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
76renegcld 10454 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8 riotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 10270 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10 renegcl 10341 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11 recn 10023 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 recn 10023 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 10331 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 494 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 4894 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 6639 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
181, 17mpan 706 1 (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wtru 1483  wcel 1989  ∃!wreu 2913  crio 6607  cc 9931  cr 9932  -cneg 10264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-ltxr 10076  df-sub 10265  df-neg 10266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator