MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riotacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riotacl 6665
Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
riotacl (∃!𝑥𝐴 𝜑 → (𝑥𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . 2 {𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐴
2 riotacl2 6664 . 2 (∃!𝑥𝐴 𝜑 → (𝑥𝐴 𝜑) ∈ {𝑥𝐴𝜑})
31, 2sseldi 3634 1 (∃!𝑥𝐴 𝜑 → (𝑥𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  ∃!wreu 2943  {crab 2945  crio 6650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469  df-iota 5889  df-riota 6651
This theorem is referenced by:  riotaeqimp  6674  riotaprop  6675  riotass2  6678  riotass  6679  riotaxfrd  6682  riotaclb  6689  supcl  8405  fisupcl  8416  htalem  8797  dfac8clem  8893  dfac2a  8990  fin23lem22  9187  zorn2lem1  9356  subcl  10318  divcl  10729  lbcl  11012  flcl  12636  cjf  13888  sqrtcl  14145  qnumdencl  15494  qnumdenbi  15499  catidcl  16390  lubcl  17032  glbcl  17045  ismgmid  17311  grpinvf  17513  pj1f  18156  mirf  25600  midf  25713  ismidb  25715  lmif  25722  islmib  25724  uspgredg2vlem  26160  usgredg2vlem1  26162  frgrncvvdeqlem4  27282  grpoidcl  27496  grpoinvcl  27506  pjpreeq  28385  cnlnadjlem3  29056  adjbdln  29070  xdivcld  29759  cvmlift3lem3  31429  nosupno  31974  nosupbday  31976  nosupbnd1  31985  scutcut  32037  transportcl  32265  finxpreclem4  33361  poimirlem26  33565  iorlid  33787  riotaclbgBAD  34558  lshpkrlem2  34716  lshpkrcl  34721  cdleme25cl  35962  cdleme29cl  35982  cdlemefrs29clN  36004  cdlemk29-3  36516  cdlemkid5  36540  dihlsscpre  36840  mapdhcl  37333  hdmapcl  37439  hgmapcl  37498  wessf1ornlem  39685  fourierdlem50  40691
  Copyright terms: Public domain W3C validator