MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlidm 18742
Description: The unit element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t · = (.r𝑅)
rngidm.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlidm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm
StepHypRef Expression
1 rngidm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 rngidm.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 rngidm.u . . 3 1 = (1r𝑅)
41, 2, 3ringidmlem 18741 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
54simpld 477 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  .rcmulr 16115  1rcur 18672  Ringcrg 18718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720
This theorem is referenced by:  rngo2times  18747  ringidss  18748  ringcom  18750  ring1eq0  18761  ringinvnzdiv  18764  ringnegl  18765  imasring  18790  opprring  18802  dvdsrid  18822  unitmulcl  18835  unitgrp  18838  1rinv  18850  dvreq1  18864  ringinvdv  18865  isdrng2  18930  drngmul0or  18941  isdrngd  18945  subrginv  18969  issubrg2  18973  abv1z  19005  issrngd  19034  sralmod  19360  unitrrg  19466  asclmul1  19512  asclrhm  19515  psrlmod  19574  psrlidm  19576  mplmonmul  19637  evlslem1  19688  coe1pwmul  19822  mulgrhm  20019  mamulid  20420  madetsumid  20440  1mavmul  20527  m1detdiag  20576  mdetralt  20587  mdetunilem7  20597  mdetuni  20601  mdetmul  20602  m2detleib  20610  chfacfpmmulgsum  20842  cpmadugsumlemB  20852  nrginvrcnlem  22667  cphsubrglem  23148  ply1divex  24066  ress1r  30069  dvrcan5  30073  ornglmullt  30087  orng0le1  30092  isarchiofld  30097  madjusmdetlem1  30173  matunitlindflem1  33687  lfl0  34824  lfladd  34825  eqlkr3  34860  lcfrlem1  37302  hdmapinvlem4  37684  hdmapglem5  37685  mon1psubm  38255  lidldomn1  42400  invginvrid  42627  ply1sclrmsm  42650  ldepsprlem  42740
  Copyright terms: Public domain W3C validator