MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlghm 18824
Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringlghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2760 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 ringgrp 18772 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43adantr 472 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 ringlghm.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
61, 5ringcl 18781 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1112 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8 eqid 2760 . . 3 (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
97, 8fmptd 6549 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵)
10 3anass 1081 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
111, 2, 5ringdi 18786 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
1210, 11sylan2br 494 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
1312anassrs 683 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
141, 2ringacl 18798 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15143expb 1114 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
1615adantlr 753 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
17 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
18 ovex 6842 . . . . 5 (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ V
1917, 8, 18fvmpt 6445 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2016, 19syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
21 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑦))
22 ovex 6842 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑦) ∈ V
2321, 8, 22fvmpt 6445 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
24 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑧))
25 ovex 6842 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑧) ∈ V
2624, 8, 25fvmpt 6445 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑋 · 𝑧))
2723, 26oveqan12d 6833 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
2827adantl 473 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
2913, 20, 283eqtr4d 2804 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)))
301, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 29isghmd 17890 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Grpcgrp 17643   GrpHom cghm 17878  Ringcrg 18767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ring 18769
This theorem is referenced by:  gsummulc2  18827
  Copyright terms: Public domain W3C validator