MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnzdiv 18639
Description: In a unitary ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6ringlidm 18617 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
82, 3, 7syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
98eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ( 1 · 𝑌))
109ad3antrrr 766 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1211eqcoms 2659 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1312adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
142adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐵)
183adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐵)
1915, 17, 183jca 1261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵))
2014, 19jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
224, 5ringass 18610 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2413, 23eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26 oveq2 6698 . . . . . . 7 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
284, 5, 27ringrz 18634 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
292, 28sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2707 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2689 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
3332exp31 629 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
3433rexlimdva 3060 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
351, 34mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
36 oveq2 6698 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
374, 5, 27ringrz 18634 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2707 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
4039ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
4135, 40impbid 202 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator