MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcmn 18752
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringcmn (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn
StepHypRef Expression
1 ringabl 18751 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablcmn 18370 . 2 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
31, 2syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2127  CMndccmn 18364  Abelcabl 18365  Ringcrg 18718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720
This theorem is referenced by:  ringsrg  18760  gsummulc1  18777  gsummulc2  18778  gsumdixp  18780  psrmulcllem  19560  psrlidm  19576  psrridm  19577  psrass1  19578  psrdi  19579  psrdir  19580  psrcom  19582  mplmonmul  19637  mplcoe1  19638  evlslem2  19685  evlslem1  19688  psropprmul  19781  coe1mul2  19812  coe1fzgsumdlem  19844  gsumsmonply1  19846  gsummoncoe1  19847  lply1binom  19849  evls1gsumadd  19862  evl1gsumdlem  19893  gsumfsum  19986  nn0srg  19989  rge0srg  19990  regsumsupp  20141  ip2di  20159  frlmphl  20293  mamucl  20380  mamuass  20381  mamudi  20382  mamudir  20383  mat1dimmul  20455  dmatmul  20476  mavmulcl  20526  mavmulass  20528  mdetleib2  20567  mdetf  20574  mdetrlin  20581  mdetralt  20587  m2detleib  20610  madugsum  20622  smadiadetlem3lem2  20646  smadiadet  20649  mat2pmatmul  20709  m2pmfzgsumcl  20726  decpmatmul  20750  pmatcollpw1  20754  pmatcollpwfi  20760  pmatcollpw3fi1lem1  20764  pm2mpcl  20775  mply1topmatcl  20783  mp2pm2mplem2  20785  mp2pm2mplem4  20787  mp2pm2mp  20789  pm2mpghm  20794  pm2mpmhmlem2  20797  pm2mp  20803  chfacfscmulgsum  20838  chfacfpmmulgsum  20842  cpmadugsumlemF  20854  cpmadugsumfi  20855  cayhamlem4  20866  tdeglem1  23988  tdeglem3  23989  tdeglem4  23990  plypf1  24138  taylfvallem  24282  taylf  24285  tayl0  24286  taylpfval  24289  jensenlem1  24883  jensenlem2  24884  jensen  24885  amgm  24887  ofldchr  30094  mdetpmtr1  30169  matunitlindflem1  33687  lfladdcl  34830  ply1mulgsum  42657  amgmwlem  43030
  Copyright terms: Public domain W3C validator