Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringccat 42552
Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ringccat.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
ringccat (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem ringccat
StepHypRef Expression
1 ringccat.c . . 3 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 id 22 . . 3 (𝑈𝑉𝑈𝑉)
3 eqidd 2772 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
4 eqidd 2772 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
51, 2, 3, 4ringcval 42536 . 2 (𝑈𝑉𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
6 eqid 2771 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
7 eqid 2771 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8 eqidd 2772 . . . 4 (𝑈𝑉 → (Ring ∩ 𝑈) = (Ring ∩ 𝑈))
9 incom 3956 . . . . . . 7 (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
1110sqxpeqd 5281 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈)))
1211reseq2d 5534 . . . 4 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈))))
137, 2, 8, 12rhmsubcsetc 42551 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
146, 13subccat 16715 . 2 (𝑈𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2850 1 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722   × cxp 5247  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6793  Catccat 16532  cat cresc 16675  ExtStrCatcestrc 16969  Ringcrg 18755   RingHom crh 18922  RingCatcringc 42531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-cat 16536  df-cid 16537  df-homf 16538  df-ssc 16677  df-resc 16678  df-subc 16679  df-estrc 16970  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925  df-ringc 42533
This theorem is referenced by:  ringcsect  42559  ringcinv  42560  ringciso  42561  funcringcsetcALTV2  42573  irinitoringc  42597  zrtermoringc  42598  zrninitoringc  42599  nzerooringczr  42600  srhmsubc  42604
  Copyright terms: Public domain W3C validator