Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcbasbasALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcbasbasALTV 42587
 Description: An element of the base set of the base set of the category of rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbasbasALTV.r 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
ringcbasbasALTV.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbasALTV.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
ringcbasbasALTV ((𝜑𝑅𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbasALTV
StepHypRef Expression
1 ringcbasbasALTV.r . . . . 5 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
2 ringcbasbasALTV.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 ringcbasbasALTV.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
41, 2, 3ringcbasALTV 42575 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
54eleq2d 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐵𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6 elin 3940 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅𝑈𝑅 ∈ Ring))
7 df-base 16086 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → 𝑅𝑈)
107, 8, 9wunstr 16104 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
1110ex 449 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ WUni → (𝑅𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1211, 3syl11 33 . . . . . 6 (𝑅𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
146, 13sylbi 207 . . . 4 (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1514com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
165, 15sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝑅𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1716imp 444 1 ((𝜑𝑅𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∩ cin 3715  ‘cfv 6050  WUnicwun 9735  1c1 10150  Basecbs 16080  Ringcrg 18768  RingCatALTVcringcALTV 42533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-wun 9737  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-hom 16189  df-cco 16190  df-ringcALTV 42535 This theorem is referenced by:  funcringcsetclem2ALTV  42589  funcringcsetclem3ALTV  42590  funcringcsetclem7ALTV  42594
 Copyright terms: Public domain W3C validator