MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringass 18784
Description: Associative law for the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringass ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringass
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18773 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 18715 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
61, 5mgpplusg 18713 . . 3 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndass 17523 . 2 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
82, 7sylan 489 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Mndcmnd 17515  mulGrpcmgp 18709  Ringcrg 18767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mgp 18710  df-ring 18769
This theorem is referenced by:  ringinvnzdiv  18813  ringmneg1  18816  ringmneg2  18817  imasring  18839  opprring  18851  dvdsrtr  18872  dvdsrmul1  18873  unitgrp  18887  dvrass  18910  dvrcan1  18911  drngmul0or  18990  isdrngd  18994  subrginv  19018  issubrg2  19022  sralmod  19409  unitrrg  19515  sraassa  19547  psrlmod  19623  psrass1  19627  psrass23l  19630  psrass23  19632  frlmphl  20342  mamuass  20430  mamuvs1  20433  mavmulass  20577  mdetrsca  20631  chfacfpmmulgsum2  20892  nrginvrcnlem  22716  ply1divex  24115  rdivmuldivd  30121  dvrcan5  30123  ornglmullt  30137  mdetpmtr1  30219  mdetpmtr12  30221  mdetlap  30228  matunitlindflem1  33736  lflvscl  34885  lflvsass  34889  eqlkr3  34909  lkrlsp  34910  lcfl7lem  37308  lclkrlem2m  37328  lcfrlem1  37351  hgmapvvlem1  37735
  Copyright terms: Public domain W3C validator