MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riinopn 20933
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
riinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 4728 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
21adantl 467 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
3 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4 1open.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54topopn 20931 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋𝐽)
72, 6eqeltrd 2850 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
84eltopss 20932 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑋)
98ex 397 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
109adantr 466 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
1110ralimdv 3112 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋))
12113impia 1109 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋)
13 riinn0 4729 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑋𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
1412, 13sylan 569 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
15 iinopn 20927 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
16153exp2 1447 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
1716com34 91 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
18173imp1 1440 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
1914, 18eqeltrd 2850 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
207, 19pm2.61dane 3030 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cin 3722  wss 3723  c0 4063   cuni 4574   ciin 4655  Fincfn 8109  Topctop 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113  df-top 20919
This theorem is referenced by:  rintopn  20934  iuncld  21070
  Copyright terms: Public domain W3C validator