HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz4i 29223
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 29222 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4 r19.26 3194 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5 oveq12 6814 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
65adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
71lnfnfi 29201 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6513 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
98subidd 10564 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
116, 10eqtr3d 2788 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
1211ralimiaa 3081 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
134, 12sylbir 225 . . . 4 ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14 hvsubcl 28175 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑢) ∈ ℋ)
15 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤))
16 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢))
1715, 16oveq12d 6823 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
1817eqeq1d 2754 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
1918rspcv 3437 . . . . . 6 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21 normcl 28283 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℝ)
2221recnd 10252 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ)
23 sqeq0 13113 . . . . . . . . 9 ((norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
25 norm-i 28287 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2624, 25bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
28 normsq 28292 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
30 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32 his2sub2 28251 . . . . . . . . 9 (((𝑤 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1473 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3429, 33eqtrd 2786 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3534eqeq1d 2754 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36 hvsubeq0 28226 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) = 0𝑤 = 𝑢))
3727, 35, 363bitr3d 298 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
3820, 37sylibd 229 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
4039rgen2a 3107 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
4241eqeq2d 2762 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4342ralbidv 3116 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4443reu4 3533 . 2 (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
453, 40, 44mpbir2an 993 1 ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  ∃!wreu 3044  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  cmin 10450  2c2 11254  cexp 13046  chil 28077   ·ih csp 28080  normcno 28081  0c0v 28082   cmv 28083  ContFnccnfn 28111  LinFnclf 28112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cc 9441  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243  ax-hcompl 28360
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-lm 21227  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cfil 23245  df-cau 23246  df-cmet 23247  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ginv 27650  df-gdiv 27651  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-va 27751  df-ba 27752  df-sm 27753  df-0v 27754  df-vs 27755  df-nmcv 27756  df-ims 27757  df-dip 27857  df-ssp 27878  df-ph 27969  df-cbn 28020  df-hnorm 28126  df-hba 28127  df-hvsub 28129  df-hlim 28130  df-hcau 28131  df-sh 28365  df-ch 28379  df-oc 28410  df-ch0 28411  df-nlfn 29006  df-cnfn 29007  df-lnfn 29008
This theorem is referenced by:  riesz4  29224
  Copyright terms: Public domain W3C validator