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Theorem riesz3i 29049
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27988 . . 3 0 ∈ ℋ
2 nlelch.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 29028 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
4 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (⊥‘0))
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContFn
62, 5nlelchi 29048 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ∈ C
76ococi 28392 . . . . . . . . 9 (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (null‘𝑇)
8 choc0 28313 . . . . . . . . 9 (⊥‘0) = ℋ
94, 7, 83eqtr3g 2708 . . . . . . . 8 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (null‘𝑇) = ℋ)
109eleq2d 2716 . . . . . . 7 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (𝑣 ∈ (null‘𝑇) ↔ 𝑣 ∈ ℋ))
1110biimpar 501 . . . . . 6 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ (null‘𝑇))
12 elnlfn2 28916 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑣 ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇𝑣) = 0)
133, 11, 12sylancr 696 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = 0)
14 hi02 28082 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1514adantl 481 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1613, 15eqtr4d 2688 . . . 4 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
1716ralrimiva 2995 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
18 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 0))
1918eqeq2d 2661 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2019ralbidv 3015 . . . 4 (𝑤 = 0 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2120rspcev 3340 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
221, 17, 21sylancr 696 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
236choccli 28294 . . . 4 (⊥‘(null‘𝑇)) ∈ C
2423chne0i 28440 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 ↔ ∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0)
2523cheli 28217 . . . . 5 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → 𝑢 ∈ ℋ)
263ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
28 hicl 28065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
2928anidms 678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
31 his6 28084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) = 0 ↔ 𝑢 = 0))
3231necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0 ↔ 𝑢 ≠ 0))
3332biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)
3427, 30, 33divcld 10839 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
3534cjcld 13980 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ)
36 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → 𝑢 ∈ ℋ)
37 hvmulcl 27998 . . . . . . . . 9 (((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3835, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3938adantll 750 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
40 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
4126, 40sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
423ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
43 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4442, 43sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4544ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
46 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
47 his2sub 28077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4841, 45, 46, 47syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4926adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
50 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
51 ax-his3 28069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5249, 50, 46, 51syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
54 ax-his3 28069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5553, 46, 46, 54syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5652, 55oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
5748, 56eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
5857adantll 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
59 hvsubcl 28002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
6041, 45, 59syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
612lnfnsubi 29033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
6241, 45, 61syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
632lnfnmuli 29031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6426, 63sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
652lnfnmuli 29031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)))
66 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6726, 66sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6865, 67eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6942, 68sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7069ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7164, 70oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))) = (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))))
72 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7326, 42, 72syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7473subidd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))) = 0)
7562, 71, 743eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)
76 elnlfn 28915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)))
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0))
7860, 75, 77sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇))
796chssii 28216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
80 ocorth 28278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((null‘𝑇) ⊆ ℋ → (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8278, 81sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8382ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ (𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8483anassrs 681 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8558, 84eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0)
86 hicl 28065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8786ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8849, 87mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
89 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9042, 29, 89syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9188, 90subeq0ad 10440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9291adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9385, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9493adantlr 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9588adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9642adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
9730, 33jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
99 divmul3 10728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10095, 96, 98, 99syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
101100adantlll 754 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10294, 101mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣))
10327adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
10487adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
105 div23 10742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
106103, 104, 98, 105syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
10734adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
108 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
109 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
110 his52 28072 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
111107, 108, 109, 110syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
112106, 111eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
113112adantlll 754 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
114102, 113eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
115114ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
116 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
117116eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
118117ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
119118rspcev 3340 . . . . . . 7 ((((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12039, 115, 119syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
121120ex 449 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
12225, 121mpdan 703 . . . 4 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
123122rexlimiv 3056 . . 3 (∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12424, 123sylbi 207 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12522, 124pm2.61ine 2906 1 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  ccj 13880  chil 27904   · csm 27906   ·ih csp 27907  0c0v 27909   cmv 27910  cort 27915  0c0h 27920  nullcnl 27937  ContFnccnfn 27938  LinFnclf 27939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-nlfn 28833  df-cnfn 28834  df-lnfn 28835
This theorem is referenced by:  riesz4i  29050  riesz1  29052
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