Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz1 29052
 Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 29053. For the continuous linear functional version, see riesz3i 29049 and riesz4 29051. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem riesz1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 29044 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑇) ∈ ℝ))
2 elin 3829 . . . . 5 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
3 fveq1 6228 . . . . . . . 8 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥))
43eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
54rexralbidv 3087 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
6 inss1 3866 . . . . . . . 8 (LinFn ∩ ContFn) ⊆ LinFn
7 0lnfn 28972 . . . . . . . . . 10 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8 0cnfn 28967 . . . . . . . . . 10 ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
9 elin 3829 . . . . . . . . . 10 (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
107, 8, 9mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
1110elimel 4183 . . . . . . . 8 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
126, 11sselii 3633 . . . . . . 7 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13 inss2 3867 . . . . . . . 8 (LinFn ∩ ContFn) ⊆ ContFn
1413, 11sselii 3633 . . . . . . 7 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
1512, 14riesz3i 29049 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)
165, 15dedth 4172 . . . . 5 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
172, 16sylbir 225 . . . 4 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
1817ex 449 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
19 normcl 28110 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm𝑦) ∈ ℝ)
21 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
23 bcs 28166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) · (norm𝑦)))
24 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
25 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑥) ∈ ℝ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
26 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑦) ∈ ℝ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
27 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm𝑥) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → ((norm𝑥) · (norm𝑦)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
2825, 26, 27syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm𝑥) · (norm𝑦)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
2924, 19, 28syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) · (norm𝑦)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3023, 29breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3130adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3322, 32eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3433ex 449 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
3534an32s 863 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
3635ralimdva 2991 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
37 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (norm𝑦) → (𝑧 · (norm𝑥)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3837breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑧 = (norm𝑦) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥)) ↔ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
3938ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑧 = (norm𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
4039rspcev 3340 . . . . . 6 (((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥)))
4120, 36, 40syl6an 567 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥))))
4241rexlimdva 3060 . . . 4 (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥))))
43 lnfncon 29043 . . . 4 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥))))
4442, 43sylibrd 249 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → 𝑇 ∈ ContFn))
4518, 44impbid 202 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
461, 45bitr3d 270 1 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   ≤ cle 10113  abscabs 14018   ℋchil 27904   ·ih csp 27907  normℎcno 27908  normfncnmf 27936  ContFnccnfn 27938  LinFnclf 27939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-nmfn 28832  df-nlfn 28833  df-cnfn 28834  df-lnfn 28835 This theorem is referenced by:  rnbra  29094
 Copyright terms: Public domain W3C validator