Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcrngclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem1 42552
 Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 42554. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcrngc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcrngc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elin 3947 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 485 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
52, 4syl6bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Ring))
65imp 393 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrhm 18941 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10 rhmsubcrngc.c . . 3 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12 eqid 2771 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13 rhmsubcrngc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1413adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
15 ringrng 42404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
1615anim2i 603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1716ancoms 446 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
183, 17sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1918adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
20 elin 3947 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2119, 20sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2210, 11, 13rngcbas 42490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2322adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2421, 23eleqtrrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2524ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
262, 25sylbid 230 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
2726imp 393 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2810, 11, 12, 14, 27, 7rngcid 42504 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29 rhmsubcrngc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3029oveqdr 6823 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31 eqid 2771 . . . . . . . 8 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
3431, 32, 13, 33ringchomfval 42537 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
3531, 32, 13ringcbas 42536 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36 incom 3956 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
371, 36syl6eq 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3837eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
3935, 38eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
4039sqxpeqd 5281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
4140reseq2d 5533 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4234, 41eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4342adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4443eqcomd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
4544oveqd 6813 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
4637eleq2d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
4746biimpa 462 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
4835adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
4947, 48eleqtrrd 2853 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
5031, 32, 14, 33, 49, 49ringchom 42538 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
5130, 45, 503eqtrd 2809 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
529, 28, 513eltr4d 2865 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3722   I cid 5157   × cxp 5248   ↾ cres 5252  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  Hom chom 16160  Idccid 16533  Ringcrg 18755   RingHom crh 18922  Rngcrng 42399  RngCatcrngc 42482  RingCatcringc 42528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-cat 16536  df-cid 16537  df-homf 16538  df-ssc 16677  df-resc 16678  df-subc 16679  df-estrc 16970  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925  df-mgmhm 42304  df-rng0 42400  df-rnghomo 42412  df-rngc 42484  df-ringc 42530 This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  42554
 Copyright terms: Public domain W3C validator