Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTVlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTVlem3 42624
Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 42626. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTVlem3 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhmALTV.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2835 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elinel1 3948 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
42, 3syl6bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ Ring))
54imp 393 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
76idrhm 18940 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
85, 7syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9 rngcrescrhmALTV.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
109adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑈𝑉)
11 eqid 2770 . . . . 5 (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
1311, 12rngccatidALTV 42507 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14 simpr 471 . . . 4 (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
1510, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
1716reseq2d 5534 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
1817adantl 467 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19 incom 3954 . . . . . . . 8 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
201, 19syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
2120eleq2d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22 ringrng 42397 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
2322anim2i 595 . . . . . . 7 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
24 elin 3945 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring))
25 elin 3945 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2623, 24, 253imtr4i 281 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2721, 26syl6bi 243 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
2827imp 393 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29 rngcrescrhmALTV.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
3029eqcomi 2779 . . . . . . 7 (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
3130fveq2i 6335 . . . . . 6 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
3229, 31, 9rngcbasALTV 42501 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3332adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3428, 33eleqtrrd 2852 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35 fvexd 6344 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
3635resiexd 6623 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
3715, 18, 34, 36fvmptd 6430 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
38 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
399, 29, 1, 38rhmsubcALTVlem2 42623 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40393anidm23 1530 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
418, 37, 403eltr4d 2864 1 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cin 3720  cmpt 4861   I cid 5156   × cxp 5247  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  Catccat 16531  Idccid 16532  Ringcrg 18754   RingHom crh 18921  Rngcrng 42392  RngCatALTVcrngcALTV 42476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-cat 16535  df-cid 16536  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-ghm 17865  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-rnghom 18924  df-mgmhm 42297  df-rng0 42393  df-rnghomo 42405  df-rngcALTV 42478
This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  42626
  Copyright terms: Public domain W3C validator