Theorem rhmresfn 42538

Description: The class of unital ring homomorphisms restricted to subsets of unital rings is a function. (Contributed by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmresfn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
rhmresfn.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmresfn	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem rhmresfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmfn 42447	. . 3 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
2		rhmresfn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3		inss2 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ Ring
4	2, 3	syl6eqss 3797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ Ring)
5		xpss12 5282	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ Ring ∧ 𝐵 ⊆ Ring) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
6	4, 4, 5	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
7		fnssres 6166	. . 3 ⊢ (( RingHom Fn (Ring × Ring) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring)) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
8	1, 6, 7	sylancr 698	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9		rhmresfn.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10	9	fneq1d 6143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716   × cxp 5265   ↾ cres 5269   Fn wfn 6045  Ringcrg 18768   RingHom crh 18935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mhm 17557  df-ghm 17880  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-rnghom 18938

This theorem is referenced by:  ringcbas  42540  ringchomfval  42541  ringchomfeqhom  42544  ringccofval  42545  dfringc2  42547  rhmsubcsetc  42552  ringcid  42554  rhmsubcrngc  42558  rngcresringcat  42559  funcringcsetc  42564