Theorem rhmmul 18936

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rhmmul.n	⊢ × = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2770	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 18931	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4		rhmmul.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5	1, 4	mgpbas 18702	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6		rhmmul.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 6	mgpplusg 18700	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8		rhmmul.n	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑆)
9	2, 8	mgpplusg 18700	. . 3 ⊢ × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
10	5, 7, 9	mhmlin 17549	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))
11	3, 10	syl3an1 1165	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  ._rcmulr 16149   MndHom cmhm 17540  mulGrpcmgp 18696   RingHom crh 18921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mhm 17542  df-ghm 17865  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-rnghom 18924

This theorem is referenced by:  srngmul  19067  evl1muld  19921  evl1scvarpw  19941  domnchr  20094  znfld  20123  znidomb  20124  znunit  20126  znrrg  20128  mat2pmatmul  20755  mat2pmatlin  20759  cayhamlem4  20912  ply1rem  24142  fta1glem2  24145  fta1blem  24147  dchrzrhmul  25191  lgsdchr  25300  lgseisenlem3  25322  lgseisenlem4  25323  rhmdvdsr  30152  rhmopp  30153  rhmdvd  30155  rhmunitinv  30156  kerunit  30157  mdetpmtr1  30223  mdetpmtr12  30225  qqhghm  30366  qqhrhm  30367