Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf1o 18942
 Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 18930 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 18929 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2jca 501 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43adantr 466 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 simpr 471 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
6 rhmghm 18935 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
76adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8 rhmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rhmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
108, 9ghmf1o 17898 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
1110bicomd 213 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
127, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
135, 12mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1615, 8mgpbas 18703 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1918, 9mgpbas 18703 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2114, 17, 20f1oeq123d 6274 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2221biimpa 462 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2315, 18rhmmhm 18932 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
2423adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2725, 26mhmf1o 17553 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
2827bicomd 213 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2924, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
3022, 29mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
3113, 30jca 501 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
3218, 15isrhm 18931 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
334, 31, 32sylanbrc 572 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
348, 9rhmf 18936 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
36 ffn 6185 . . . 4 (𝐹:𝐵𝐶𝐹 Fn 𝐵)
3735, 36syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
389, 8rhmf 18936 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3938adantl 467 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
40 ffn 6185 . . . 4 (𝐹:𝐶𝐵𝐹 Fn 𝐶)
4139, 40syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
42 dff1o4 6286 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4337, 41, 42sylanbrc 572 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4433, 43impbida 802 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ◡ccnv 5248   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064   MndHom cmhm 17541   GrpHom cghm 17865  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755   RingHom crh 18922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925 This theorem is referenced by:  isrim  18943
 Copyright terms: Public domain W3C validator