Theorem rhmf 18936

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 18935	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 17872	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064   GrpHom cghm 17865   RingHom crh 18922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mhm 17543  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925

This theorem is referenced by:  rhmf1o  18942  kerf1hrm  18953  srngf1o  19064  evlslem6  19728  evlslem3  19729  evlslem1  19730  evlseu  19731  mpfconst  19745  mpfproj  19746  mpfsubrg  19747  mpfind  19751  evls1val  19900  evls1sca  19903  evl1val  19908  fveval1fvcl  19912  evl1addd  19920  evl1subd  19921  evl1muld  19922  evl1expd  19924  pf1const  19925  pf1id  19926  pf1subrg  19927  mpfpf1  19930  pf1mpf  19931  pf1ind  19934  mulgrhm2  20062  chrrhm  20094  domnchr  20095  znf1o  20115  znidomb  20125  ply1remlem  24142  ply1rem  24143  fta1glem1  24145  fta1glem2  24146  fta1g  24147  fta1blem  24148  plypf1  24188  dchrzrhmul  25192  lgsqrlem1  25292  lgsqrlem2  25293  lgsqrlem3  25294  lgseisenlem3  25323  lgseisenlem4  25324  rhmdvdsr  30158  rhmopp  30159  rhmdvd  30161  kerunit  30163  mdetlap  30238  pl1cn  30341  zrhunitpreima  30362  elzrhunit  30363  qqhval2lem  30365  qqhf  30370  qqhghm  30372  qqhrhm  30373  qqhnm  30374  idomrootle  38299  elringchom  42542  rhmsscmap2  42547  rhmsscmap  42548  rhmsubcsetclem2  42550  rhmsubcrngclem2  42556  ringcsect  42559  ringcinv  42560  funcringcsetc  42563  funcringcsetcALTV2lem8  42571  funcringcsetcALTV2lem9  42572  elringchomALTV  42577  ringcinvALTV  42584  funcringcsetclem8ALTV  42594  funcringcsetclem9ALTV  42595  zrtermoringc  42598  rhmsubclem4  42617