Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvd 30101
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u 𝑈 = (Unit‘𝑆)
rhmdvd.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvd.d / = (/r𝑆)
rhmdvd.m · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1225 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 simp23 1227 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐶𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
5 rhmdvd.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2748 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
74, 5, 6rhmmul 18900 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1463 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
9 simp22 1226 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐵𝑋)
104, 5, 6rhmmul 18900 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1463 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
128, 11oveq12d 6819 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))) = (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))))
13 rhmrcl2 18893 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1125 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2748 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
164, 15rhmf 18899 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
17163ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
1817, 2ffvelrnd 6511 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
19 simp3l 1220 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑈)
20 simp3r 1221 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)
21 rhmdvd.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑆)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/r𝑆)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 30073 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1465 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2512, 24eqtr2d 2783 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  .rcmulr 16115  Ringcrg 18718  Unitcui 18810  /rcdvr 18853   RingHom crh 18885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-ghm 17830  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-rnghom 18888
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  30305  qqhghm  30312  qqhrhm  30313
  Copyright terms: Public domain W3C validator