MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmco 18947
Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rhmco ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem rhmco
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 18930 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 18929 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
31, 2anim12ci 601 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring))
4 rhmghm 18935 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
5 rhmghm 18935 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6 ghmco 17888 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
74, 5, 6syl2an 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8 eqid 2771 . . . . 5 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
9 eqid 2771 . . . . 5 (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
108, 9rhmmhm 18932 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
11 eqid 2771 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1211, 8rhmmhm 18932 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
13 mhmco 17570 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
1410, 12, 13syl2an 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
157, 14jca 501 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
1611, 9isrhm 18931 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
173, 15, 16sylanbrc 572 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6793   MndHom cmhm 17541   GrpHom cghm 17865  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755   RingHom crh 18922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-rnghom 18925
This theorem is referenced by:  evls1rhm  19902  evl1rhm  19911  chrrhm  20094  rhmsubcsetclem2  42550  rhmsubcrngclem2  42556  funcringcsetcALTV2lem9  42572  ringccatidALTV  42580  funcringcsetclem9ALTV  42595  rhmsubclem4  42617  rhmsubcALTVlem4  42635
  Copyright terms: Public domain W3C validator