MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0ssre 12318
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 12316 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
21simplbi 475 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
32ssriv 3640 1 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  cle 10113  [,)cico 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ico 12219
This theorem is referenced by:  fsumge0  14571  abvf  18871  rege0subm  19850  rge0srg  19865  icopnfhmeo  22789  iccpnfcnv  22790  cphsqrtcl  23030  ovollb2lem  23302  ovollb2  23303  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovolicc1  23330  ovolicc2lem4  23334  ovolre  23339  ioombl1lem2  23373  ioombl1lem4  23375  uniioombllem1  23395  uniioombllem2  23397  uniioombllem3  23399  uniioombllem6  23402  0plef  23484  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  itg2mulclem  23558  itg2mulc  23559  itg2monolem1  23562  itg2mono  23565  itg2i1fseq  23567  itg2gt0  23572  itg2cnlem1  23573  itg2cnlem2  23574  cxpcn3  24534  rlimcnp  24737  efrlim  24741  jensenlem1  24758  jensenlem2  24759  jensen  24760  amgm  24762  axcontlem10  25898  xrge0adddir  29820  fsumrp0cl  29823  xrge0slmod  29972  xrge0iifcnv  30107  lmlimxrge0  30122  rge0scvg  30123  lmdvg  30127  esumfsupre  30261  esumpfinvallem  30264  esumpfinval  30265  esumpfinvalf  30266  esumpcvgval  30268  esumcvg  30276  sibfof  30530  sitgclg  30532  sitgaddlemb  30538  hgt750lemf  30859  hgt750leme  30864  tgoldbachgtde  30866  itg2addnclem2  33592  itg2addnclem3  33593  itg2gt0cn  33595  ftc1anclem3  33617  areacirclem2  33631  xralrple2  39883  ge0xrre  40076  fsumge0cl  40123  liminfresre  40329  fouriersw  40766  sge0rnre  40899  fge0iccre  40909  sge0sn  40914  sge0tsms  40915  sge0f1o  40917  sge0repnf  40921  sge0fsum  40922  sge0pr  40929  sge0ltfirp  40935  sge0resplit  40941  sge0le  40942  sge0split  40944  sge0iunmptlemre  40950  sge0isum  40962  sge0ad2en  40966  sge0isummpt2  40967  sge0xaddlem1  40968  sge0xaddlem2  40969  sge0gtfsumgt  40978  sge0uzfsumgt  40979  sge0seq  40981  sge0reuz  40982  sge0reuzb  40983  meassre  41012  meaiuninclem  41015  omessre  41045  omeiunltfirp  41054  carageniuncl  41058  hoidmvlelem1  41130  hoidmvlelem2  41131  hoidmvlelem3  41132  hoidmvlelem4  41133  hoidmvlelem5  41134  hspmbllem1  41161
  Copyright terms: Public domain W3C validator