Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre2 39707
Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1 𝑥𝐵
rfcnpre2.2 𝑥𝐹
rfcnpre2.3 𝑥𝜑
rfcnpre2.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5 𝑋 = 𝐽
rfcnpre2.6 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2 (𝜑𝐴𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . 4 𝑥𝜑
2 rfcnpre2.2 . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfcnv 5456 . . . . 5 𝑥𝐹
4 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥-∞
5 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥(,)
6 rfcnpre2.1 . . . . . 6 𝑥𝐵
74, 5, 6nfov 6840 . . . . 5 𝑥(-∞(,)𝐵)
83, 7nfima 5632 . . . 4 𝑥(𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9 nfrab1 3261 . . . 4 𝑥{𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
10 rfcnpre2.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11 rfcnpre2.5 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝐽
12 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13 rfcnpre2.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1410, 11, 12, 13fcnre 39701 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1514ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 rfcnpre2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
17 elioomnf 12481 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1918baibd 986 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2015, 19syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2120pm5.32da 676 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
22 ffn 6206 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23 elpreima 6501 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
2414, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25 rabid 3254 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
2721, 24, 263bitr4d 300 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}))
281, 8, 9, 27eqrd 3763 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
29 rfcnpre2.6 . . 3 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
3028, 29syl6eqr 2812 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31 iooretop 22790 . . . . 5 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
3332, 10syl6eleqr 2850 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34 cnima 21291 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3513, 33, 34syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3630, 35eqeltrrd 2840 1 (𝜑𝐴𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wnfc 2889  {crab 3054   cuni 4588   class class class wbr 4804  ccnv 5265  ran crn 5267  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  (,)cioo 12388  topGenctg 16320   Cn ccn 21250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-ioo 12392  df-topgen 16326  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cn 21253
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  40790  cnfsmf  41473
  Copyright terms: Public domain W3C validator