Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rezh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rezh 30355
Description: The -module of is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
rezh (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 22804 . . . . 5 fld ∈ NrmRing
2 resubdrg 20171 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
32simpli 470 . . . . 5 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 df-refld 20168 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
54subrgnrg 22697 . . . . 5 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
61, 3, 5mp2an 672 . . . 4 fld ∈ NrmRing
7 eqid 2771 . . . . 5 (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
87zhmnrg 30351 . . . 4 (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9 nrgngp 22686 . . . 4 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
106, 8, 9mp2b 10 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11 nrgring 22687 . . . . 5 (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12 ringabl 18788 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
136, 11, 12mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Abel
147zlmlmod 20086 . . . 4 (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
1513, 14mpbi 220 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16 zringnrg 22811 . . 3 ring ∈ NrmRing
1710, 15, 163pm3.2i 1423 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
1918zcnd 11690 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120recnd 10274 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2219, 21absmuld 14401 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23 subrgsubg 18996 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
243, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
277, 26zlmvsca 20085 . . . . . . . . . 10 (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
2827eqcomi 2780 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
2925, 4, 28subgmulg 17816 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
3024, 29mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31 cnfldmulg 19993 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3221, 31syldan 579 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3330, 32eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3433fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35 zre 11588 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36 remulcl 10227 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37 fvres 6350 . . . . . . 7 ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
3935, 38sylan 569 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
4034, 39eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41 fvres 6350 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42 fvres 6350 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
4341, 42oveqan12d 6815 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
4422, 40, 433eqtr4d 2815 . . 3 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
4544rgen2 3124 . 2 𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46 rebase 20169 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
477, 46zlmbas 20081 . . 3 ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48 recusp 23389 . . . . 5 fld ∈ CUnifSp
4948elexi 3365 . . . 4 fld ∈ V
50 cnring 19983 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
51 ringmnd 18764 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 fld ∈ Mnd
53 0re 10246 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
54 ax-resscn 10199 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
55 cnfldbas 19965 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
56 cnfld0 19985 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
57 cnfldnm 22802 . . . . . . 7 abs = (norm‘ℂfld)
584, 55, 56, 57ressnm 29991 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
5952, 53, 54, 58mp3an 1572 . . . . 5 (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
607, 59zlmnm 30350 . . . 4 (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
6149, 60ax-mp 5 . . 3 (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62 eqid 2771 . . 3 ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
637zlmsca 20084 . . . 4 (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
6449, 63ax-mp 5 . . 3 ring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65 zringbas 20039 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
66 zringnm 30344 . . . 4 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
6766eqcomi 2780 . . 3 (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
6847, 61, 62, 64, 65, 67isnlm 22699 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
6917, 45, 68mpbir2an 690 1 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  cres 5252  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147  cz 11584  abscabs 14182  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  SubGrpcsubg 17796  Abelcabl 18401  Ringcrg 18755  DivRingcdr 18957  SubRingcsubrg 18986  LModclmod 19073  fldccnfld 19961  ringzring 20033  ℤModczlm 20064  fldcrefld 20167  CUnifSpccusp 22321  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602  NrmRingcnrg 22604  NrmModcnlm 22605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-metu 19960  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zlm 20068  df-refld 20168  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-flim 21963  df-fcls 21965  df-ust 22224  df-utop 22255  df-uss 22280  df-usp 22281  df-cfilu 22311  df-cusp 22322  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-cncf 22901  df-cfil 23272  df-cmet 23274  df-cms 23351
This theorem is referenced by:  rerrext  30393
  Copyright terms: Public domain W3C validator