Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexzrexnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexzrexnn0 37194
Description: Rewrite a quantification over integers into a quantification over naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rexzrexnn0.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
rexzrexnn0.2 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜒))
Assertion
Ref Expression
rexzrexnn0 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓𝜒))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rexzrexnn0
StepHypRef Expression
1 elznn0 11389 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0)))
21simprbi 480 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
32adantr 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
4 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5 simplr 792 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝜑)
6 rexzrexnn0.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
76equcoms 1946 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
87bicomd 213 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜑))
98rspcev 3307 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
104, 5, 9syl2anc 693 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
1110ex 450 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓))
12 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → -𝑥 ∈ ℕ0)
13 zcn 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1413negnegd 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
1514eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = --𝑥)
16 negeq 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
1716eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = -𝑥 → (𝑥 = -𝑦𝑥 = --𝑥))
1815, 17syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
1918imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
20 rexzrexnn0.2 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜒))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑𝜒))
2221bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒𝜑))
2322adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒𝜑))
2412, 23rspcedv 3311 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
2524impancom 456 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
2611, 25orim12d 883 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒)))
273, 26mpd 15 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
28 r19.43 3091 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
2927, 28sylibr 224 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓𝜒))
3029rexlimiva 3026 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓𝜒))
31 nn0z 11397 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
326rspcev 3307 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
3331, 32sylan 488 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
34 nn0negz 11412 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
3520rspcev 3307 . . . . 5 ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
3634, 35sylan 488 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
3733, 36jaodan 826 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝜓𝜒)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
3837rexlimiva 3026 . 2 (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
3930, 38impbii 199 1 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  cr 9932  -cneg 10264  0cn0 11289  cz 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375
This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  37200
  Copyright terms: Public domain W3C validator