MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexpen 15156
Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9030 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 15155 . . . . . 6 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2 nnenom 12973 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
3 pwen 8298 . . . . . . 7 (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
51, 4entri 8175 . . . . 5 ℝ ≈ 𝒫 ω
6 omex 8713 . . . . . 6 ω ∈ V
76pw2en 8232 . . . . 5 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)
85, 7entri 8175 . . . 4 ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω)
9 xpen 8288 . . . 4 ((ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω) ∧ ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
108, 8, 9mp2an 710 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
11 2onn 7889 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
1211elexi 3353 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ V
1312, 12, 6xpmapen 8293 . . . . . 6 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
1413ensymi 8171 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω)
15 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 ⊆ 2𝑜
16 ssnnfi 8344 . . . . . . . . . . . . 13 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ⊆ 2𝑜) → 2𝑜 ∈ Fin)
1711, 15, 16mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 ∈ Fin
18 xpfi 8396 . . . . . . . . . . . 12 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → (2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin)
1917, 17, 18mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin
20 isfinite 8722 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin ↔ (2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω)
2119, 20mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω
226canth2 8278 . . . . . . . . . 10 ω ≺ 𝒫 ω
23 sdomtr 8263 . . . . . . . . . 10 (((2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω)
2421, 22, 23mp2an 710 . . . . . . . . 9 (2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω
25 sdomdom 8149 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω → (2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω
27 domentr 8180 . . . . . . . 8 (((2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → (2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
2826, 7, 27mp2an 710 . . . . . . 7 (2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
29 mapdom1 8290 . . . . . . 7 ((2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω) → ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω)
31 mapxpen 8291 . . . . . . . 8 ((2𝑜 ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 (ω × ω)))
3211, 6, 6, 31mp3an 1573 . . . . . . 7 ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 (ω × ω))
3312enref 8154 . . . . . . . 8 2𝑜 ≈ 2𝑜
34 xpomen 9028 . . . . . . . 8 (ω × ω) ≈ ω
35 mapen 8289 . . . . . . . 8 ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2𝑜𝑚 (ω × ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω))
3633, 34, 35mp2an 710 . . . . . . 7 (2𝑜𝑚 (ω × ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
3732, 36entri 8175 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
38 domentr 8180 . . . . . 6 ((((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ∧ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
3930, 37, 38mp2an 710 . . . . 5 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
40 endomtr 8179 . . . . 5 ((((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ∧ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω)) → ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
4114, 39, 40mp2an 710 . . . 4 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
42 ovex 6841 . . . . . . 7 (2𝑜𝑚 ω) ∈ V
43 0ex 4942 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4442, 43xpsnen 8209 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
4544ensymi 8171 . . . . 5 (2𝑜𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅})
46 snfi 8203 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ Fin
47 isfinite 8722 . . . . . . . . . 10 ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
4846, 47mpbi 220 . . . . . . . . 9 {∅} ≺ ω
49 sdomtr 8263 . . . . . . . . 9 (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
5048, 22, 49mp2an 710 . . . . . . . 8 {∅} ≺ 𝒫 ω
51 sdomdom 8149 . . . . . . . 8 ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ≼ 𝒫 ω
53 domentr 8180 . . . . . . 7 (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → {∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω))
5452, 7, 53mp2an 710 . . . . . 6 {∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω)
5542xpdom2 8220 . . . . . 6 ({∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω) → ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
57 endomtr 8179 . . . . 5 (((2𝑜𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ∧ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))) → (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
5845, 56, 57mp2an 710 . . . 4 (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
59 sbth 8245 . . . 4 ((((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω) ∧ (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))) → ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω))
6041, 58, 59mp2an 710 . . 3 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
6110, 60entri 8175 . 2 (ℝ × ℝ) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
6261, 8entr4i 8178 1 (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  (class class class)co 6813  ωcom 7230  2𝑜c2o 7723  𝑚 cmap 8023  cen 8118  cdom 8119  csdm 8120  Fincfn 8121  cr 10127  cn 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616
This theorem is referenced by:  cpnnen  15157
  Copyright terms: Public domain W3C validator