MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexneg 12246
Description: Minus a real number. Remark [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexneg (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)

Proof of Theorem rexneg
StepHypRef Expression
1 df-xneg 12150 . 2 -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2 renepnf 10288 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
3 ifnefalse 4235 . . . 4 (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
5 renemnf 10289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
6 ifnefalse 4235 . . . 4 (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) = -𝐴)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) = -𝐴)
84, 7eqtrd 2804 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = -𝐴)
91, 8syl5eq 2816 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  ifcif 4223  cr 10136  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  -cneg 10468  -𝑒cxne 12147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xneg 12150
This theorem is referenced by:  xneg0  12247  xnegcl  12248  xnegneg  12249  xltnegi  12251  rexsub  12268  xnegid  12273  xnegdi  12282  xpncan  12285  xnpcan  12286  xmulneg1  12303  xmulm1  12315  xadddi  12329  xlt2addrd  29857  xrsmulgzz  30012  rexnegd  39848  xnegrecl  40175
  Copyright terms: Public domain W3C validator