Theorem rexcom4 3256

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 3128	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ V ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
2		rexv 3251	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
3	2	rexbii 3070	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑)
4		rexv 3251	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ V ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
5	1, 3, 4	3bitr3i 290	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 196  ∃wex 1744  ∃wrex 2942  Vcvv 3231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-v 3233

This theorem is referenced by:  rexcom4a  3257  reuind  3444  uni0b  4495  iuncom4  4560  dfiun2g  4584  iunn0  4612  iunxiun  4640  iinexg  4854  inuni  4856  iunopab  5041  xpiundi  5207  xpiundir  5208  cnvuni  5341  dmiun  5365  elres  5470  elsnres  5471  rniun  5578  xpdifid  5597  imaco  5678  coiun  5683  abrexco  6542  imaiun  6543  fliftf  6605  fun11iun  7168  oprabrexex2  7200  releldm2  7262  oarec  7687  omeu  7710  eroveu  7885  dfac5lem2  8985  genpass  9869  supaddc  11028  supadd  11029  supmul1  11030  supmullem2  11032  supmul  11033  pceu  15598  4sqlem12  15707  mreiincl  16303  psgneu  17972  ntreq0  20929  unisngl  21378  metrest  22376  metuel2  22417  istrkg2ld  25404  fpwrelmapffslem  29635  omssubaddlem  30489  omssubadd  30490  bnj906  31126  nosupno  31974  nosupfv  31977  bj-elsngl  33081  bj-restn0  33168  ismblfin  33580  itg2addnclem3  33593  sdclem1  33669  prter2  34485  lshpsmreu  34714  islpln5  35139  islvol5  35183  cdlemftr3  36170  mapdpglem3  37281  hdmapglem7a  37536  diophrex  37656  imaiun1  38260  coiun1  38261  upbdrech  39833