Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexanuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz3 39589
Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexanuz3.1 𝑗𝜑
rexanuz3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
rexanuz3.3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
rexanuz3.4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
rexanuz3.5 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
rexanuz3.6 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
Assertion
Ref Expression
rexanuz3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3
StepHypRef Expression
1 rexanuz3.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒)
2 rexanuz3.4 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
31, 2jca 553 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
4 rexanuz3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54rexanuz2 14133 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
63, 5sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
7 rexanuz3.1 . . 3 𝑗𝜑
84eleq2i 2722 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
98biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11 uzid 11740 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓))
15 rexanuz3.5 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜒𝜃))
16 rexanuz3.6 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜏))
1715, 16anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒𝜓) ↔ (𝜃𝜏)))
1817rspcva 3338 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
1913, 14, 18syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2019adantll 750 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓)) → (𝜃𝜏))
2120ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏)))
2221ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → (𝜃𝜏))))
237, 22reximdai 3041 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜒𝜓) → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏)))
246, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝜃𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cfv 5926  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  smflimlem4  41303
  Copyright terms: Public domain W3C validator