MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revval 13718
Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revval (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . 2 (𝑊𝑉𝑊 ∈ V)
2 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
32oveq2d 6812 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4 id 22 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
52oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
65oveq1d 6811 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
74, 6fveq12d 6340 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
83, 7mpteq12dv 4868 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9 df-reverse 13501 . . 3 reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10 ovex 6827 . . . 4 (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V
1110mptex 6633 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
128, 9, 11fvmpt 6426 . 2 (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
131, 12syl 17 1 (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143  cmin 10472  ..^cfzo 12673  chash 13321  reversecreverse 13493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-reverse 13501
This theorem is referenced by:  revcl  13719  revlen  13720  revfv  13721  repswrevw  13742  revco  13789
  Copyright terms: Public domain W3C validator