Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revs1 13723
 Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
revs1 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1
StepHypRef Expression
1 s1cli 13585 . . . . 5 ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2 s1len 13586 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3 1nn 11233 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
42, 3eqeltri 2846 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5 lbfzo0 12716 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
64, 5mpbir 221 . . . . 5 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))
7 revfv 13721 . . . . 5 ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
81, 6, 7mp2an 672 . . . 4 ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
92oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10 1m1e0 11291 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
119, 10eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
1211oveq1i 6803 . . . . . . 7 (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13 0m0e0 11332 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
1412, 13eqtri 2793 . . . . . 6 (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
1514fveq2i 6335 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16 ids1 13577 . . . . . . 7 ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
1716fveq1i 6333 . . . . . 6 (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18 fvex 6342 . . . . . . 7 ( I ‘𝑆) ∈ V
19 s1fv 13590 . . . . . . 7 (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
2117, 20eqtri 2793 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
2215, 21eqtri 2793 . . . 4 (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
238, 22eqtri 2793 . . 3 ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24 s1eq 13580 . . 3 (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
2523, 24ax-mp 5 . 2 ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26 revcl 13719 . . . 4 (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
271, 26ax-mp 5 . . 3 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28 revlen 13720 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩))
291, 28ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩)
3029, 2eqtri 2793 . . 3 (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31 eqs1 13592 . . 3 (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
3227, 30, 31mp2an 672 . 2 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
3325, 32, 163eqtr4i 2803 1 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   I cid 5156  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   − cmin 10468  ℕcn 11222  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  ⟨“cs1 13490  reversecreverse 13493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-s1 13498  df-reverse 13501 This theorem is referenced by:  gsumwrev  18003  efginvrel2  18347  vrgpinv  18389
 Copyright terms: Public domain W3C validator