MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revrev 13708
Description: Reversion is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
revrev (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revcl 13702 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 13702 . . . 4 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 13488 . . . 4 ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4 ffn 6198 . . . 4 ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6 revlen 13703 . . . . . . 7 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
8 revlen 13703 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
97, 8eqtrd 2786 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
109oveq2d 6821 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(♯‘𝑊)))
1110fneq2d 6135 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
125, 11mpbid 222 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
13 wrdfn 13497 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
141adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
15 simpr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
168adantr 472 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
1716oveq2d 6821 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
1815, 17eleqtrrd 2834 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))))
19 revfv 13704 . . . 4 (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
2014, 18, 19syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
2116oveq1d 6820 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
2221oveq1d 6820 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
2322fveq2d 6348 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
24 lencl 13502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2524nn0zd 11664 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
26 fzoval 12657 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2827eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
2928biimpa 502 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30 fznn0sub2 12632 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3227adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3331, 32eleqtrrd 2834 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34 revfv 13704 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
3533, 34syldan 488 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
36 peano2zm 11604 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
3725, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
3837zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
39 elfzoelz 12656 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
4039zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41 nncan 10494 . . . . . . 7 ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
4238, 40, 41syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
4342fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊𝑥))
4435, 43eqtrd 2786 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊𝑥))
4523, 44eqtrd 2786 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊𝑥))
4620, 45eqtrd 2786 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊𝑥))
4712, 13, 46eqfnfvd 6469 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121  cmin 10450  cz 11561  ...cfz 12511  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469  reversecreverse 13475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-reverse 13483
This theorem is referenced by:  efginvrel1  18333
  Copyright terms: Public domain W3C validator