Theorem revrev 13708

Description: Reversion is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revrev	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revcl 13702	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2		revcl 13702	. . . 4 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3		wrdf 13488	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4		ffn 6198	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6		revlen 13703	. . . . . . 7 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
8		revlen 13703	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	7, 8	eqtrd 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
10	9	oveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(♯‘𝑊)))
11	10	fneq2d 6135	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
12	5, 11	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdfn 13497	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14	1	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
15		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	8	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
17	16	oveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
18	15, 17	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))))
19		revfv 13704	. . . 4 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
20	14, 18, 19	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
21	16	oveq1d 6820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
22	21	oveq1d 6820	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
23	22	fveq2d 6348	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
24		lencl 13502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 11664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
26		fzoval 12657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
28	27	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
29	28	biimpa 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30		fznn0sub2 12632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
32	27	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
33	31, 32	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34		revfv 13704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
35	33, 34	syldan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
36		peano2zm 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
37	25, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
39		elfzoelz 12656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41		nncan 10494	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
42	38, 40, 41	syl2an 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
43	42	fveq2d 6348	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊‘𝑥))
44	35, 43	eqtrd 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
45	23, 44	eqtrd 2786	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
46	20, 45	eqtrd 2786	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
47	12, 13, 46	eqfnfvd 6469	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   − cmin 10450  ℤcz 11561  ...cfz 12511  ..^cfzo 12651  ♯chash 13303  Word cword 13469  reversecreverse 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-reverse 13483

This theorem is referenced by:  efginvrel1  18333