MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reuss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reuss2 4015
Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
reuss2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥𝐴 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem reuss2
StepHypRef Expression
1 df-rex 3020 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
2 df-reu 3021 . . 3 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓))
31, 2anbi12i 735 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓)))
4 df-ral 3019 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)))
5 ssel 3703 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
6 pm3.2 462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝜓 → (𝑥𝐵𝜓)))
76imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵 → ((𝜑𝜓) → (𝜑 → (𝑥𝐵𝜓))))
85, 7syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ((𝜑𝜓) → (𝜑 → (𝑥𝐵𝜓)))))
98a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)) → (𝑥𝐴 → (𝜑 → (𝑥𝐵𝜓)))))
109imp4a 615 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)) → ((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓))))
1110alimdv 1958 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓))))
1211imp 444 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)))
134, 12sylan2b 493 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)))
14 euimmo 2624 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
16 eu5 2597 . . . . . 6 (∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1716simplbi2 656 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) → (∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑) → ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1815, 17syl9 77 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) → (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) → (∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓) → ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))))
1918imp32 448 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓))) → ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
20 df-reu 3021 . . 3 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
2119, 20sylibr 224 . 2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓))) → ∃!𝑥𝐴 𝜑)
223, 21sylan2b 493 1 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wal 1594  wex 1817  wcel 2103  ∃!weu 2571  ∃*wmo 2572  wral 3014  wrex 3015  ∃!wreu 3016  wss 3680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-in 3687  df-ss 3694
This theorem is referenced by:  reuss  4016  reuun1  4017  riotass2  6753
  Copyright terms: Public domain W3C validator