Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retanhcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retanhcl 15109
 Description: The hyperbolic tangent of a real number is real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
retanhcl (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)

Proof of Theorem retanhcl
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10208 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 recn 10239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10233 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 698 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpcoshcl 15107 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
65rpne0d 12091 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7 tanval 15078 . . . . 5 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
84, 6, 7syl2anc 696 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
98oveq1d 6830 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
104sincld 15080 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 recoshcl 15108 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
1211recnd 10281 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
131a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14 ine0 10678 . . . . 5 i ≠ 0
1514a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
1610, 12, 13, 6, 15divdiv32d 11039 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
179, 16eqtrd 2795 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
18 resinhcl 15106 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
1918, 5rerpdivcld 12117 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2017, 19eqeltrd 2840 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  ℝcr 10148  0cc0 10149  ici 10151   · cmul 10154   / cdiv 10897  sincsin 15014  cosccos 15015  tanctan 15016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-tan 15022 This theorem is referenced by:  tanhbnd  15111  tanregt0  24506
 Copyright terms: Public domain W3C validator