Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvlem 30171
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvlem.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resvlem.f 𝐸 = Slot 𝑁
resvlem.n 𝑁 ∈ ℕ
resvlem.b 𝑁 ≠ 5
Assertion
Ref Expression
resvlem (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
2 eqid 2771 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
41, 2, 3resvid2 30168 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
54fveq2d 6336 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
653expib 1116 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
71, 2, 3resvval2 30169 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
87fveq2d 6336 . . . . . 6 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
9 resvlem.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resvlem.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
119, 10ndxid 16090 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
129, 10ndxarg 16089 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
13 resvlem.b . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 5
1412, 13eqnetri 3013 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 5
15 scandx 16221 . . . . . . . 8 (Scalar‘ndx) = 5
1614, 15neeqtrri 3016 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
1711, 16setsnid 16122 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
188, 17syl6eqr 2823 . . . . 5 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
19183expib 1116 . . . 4 (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
206, 19pm2.61i 176 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
21 reldmresv 30166 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾v
2221ovprc1 6829 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
231, 22syl5eq 2817 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2423fveq2d 6336 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
259str0 16118 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2624, 25syl6eqr 2823 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
27 fvprc 6326 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
2826, 27eqtr4d 2808 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
2928adantr 466 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3020, 29pm2.61ian 812 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
31 resvlem.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
3230, 31syl6reqr 2824 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  cop 4322  cfv 6031  (class class class)co 6793  cn 11222  5c5 11275  ndxcnx 16061   sSet csts 16062  Slot cslot 16063  Basecbs 16064  s cress 16065  Scalarcsca 16152  v cresv 30164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-sets 16071  df-sca 16165  df-resv 30165
This theorem is referenced by:  resvbas  30172  resvplusg  30173  resvvsca  30174  resvmulr  30175
  Copyright terms: Public domain W3C validator