MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubcl 10383
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 10064 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 10064 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10367 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
5 renegcl 10382 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6 readdcl 10057 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 490 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
84, 7eqeltrrd 2731 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  peano2rem  10386  resubcld  10496  ltaddsub  10540  leaddsub  10542  posdif  10559  lt2sub  10564  le2sub  10565  mulsuble0b  10933  cju  11054  elz2  11432  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  difrp  11906  qbtwnre  12068  iooshf  12290  iccshftl  12346  lincmb01cmp  12353  uzsubsubfz  12401  difelfzle  12491  fzonmapblen  12553  eluzgtdifelfzo  12569  subfzo0  12630  fracle1  12644  fldiv  12699  modcl  12712  2submod  12771  modsubdir  12779  modfzo0difsn  12782  expubnd  12961  absdiflt  14101  absdifle  14102  elicc4abs  14103  abssubge0  14111  abs2difabs  14118  rddif  14124  absrdbnd  14125  climsup  14444  flo1  14630  supcvg  14632  refallfaccl  14793  resin4p  14912  recos4p  14913  cos01bnd  14960  cos01gt0  14965  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem14  15580  pythagtriplem16  15582  fldivp1  15648  prmreclem6  15672  cshwshashlem2  15850  bl2ioo  22642  ioo2bl  22643  ioo2blex  22644  blssioo  22645  blcvx  22648  reconnlem2  22677  opnreen  22681  iirev  22775  iihalf2  22779  iccpnfhmeo  22791  iccvolcl  23381  ioovolcl  23384  ismbf3d  23466  itgrecl  23609  cmvth  23799  dvle  23815  dvcvx  23828  dvfsumge  23830  aalioulem3  24134  aaliou  24138  aaliou3lem9  24150  abelthlem2  24231  abelthlem7  24237  abelth2  24241  sincosq1sgn  24295  sincosq2sgn  24296  sincosq3sgn  24297  sincosq4sgn  24298  tangtx  24302  sinq12gt0  24304  cosq14gt0  24307  cosq14ge0  24308  cosne0  24321  sinord  24325  resinf1o  24327  tanregt0  24330  efif1olem2  24334  relogdiv  24384  logneg2  24406  logdivlti  24411  logcnlem4  24436  logccv  24454  cxpaddlelem  24537  loglesqrt  24544  ang180lem2  24585  acoscos  24665  acosbnd  24672  acosrecl  24675  atanlogaddlem  24685  atans2  24703  leibpi  24714  divsqrtsumo1  24755  cvxcl  24756  scvxcvx  24757  jensenlem2  24759  amgmlem  24761  harmonicbnd4  24782  zetacvg  24786  ftalem5  24848  basellem9  24860  mumullem2  24951  ppiub  24974  chtub  24982  bposlem1  25054  bposlem6  25059  bposlem9  25062  gausslemma2dlem1a  25135  chtppilim  25209  chto1ub  25210  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0re  25247  log2sumbnd  25278  selberglem2  25280  pntrmax  25298  pntpbnd2  25321  pntlem3  25343  brbtwn2  25830  colinearalglem4  25834  eleesub  25836  eleesubd  25837  axsegconlem2  25843  ax5seglem2  25854  ax5seglem3  25856  axpaschlem  25865  axpasch  25866  axcontlem2  25890  crctcshwlkn0lem3  26760  crctcshwlkn0lem7  26764  eucrctshift  27221  xlt2addrd  29651  signshf  30793  resconn  31354  sinccvglem  31692  fz0n  31742  dnibndlem4  32596  dnibndlem6  32598  dnibndlem7  32599  dnibndlem9  32601  dnibndlem10  32602  knoppndvlem15  32642  sin2h  33529  tan2h  33531  poimir  33572  mblfinlem3  33578  mblfinlem4  33579  itg2addnclem  33591  itg2addnclem3  33593  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  dvasin  33626  geomcau  33685  bfp  33753  ismrer1  33767  iccbnd  33769  rmspecsqrtnqOLD  37788  jm2.17a  37844  acongeq  37867  jm3.1lem2  37902  areaquad  38119  lptre2pt  40190  dvnmul  40476  stoweidlem59  40594  fourierdlem42  40684  hoidmvlelem2  41131  smfmullem1  41319  ltsubsubaddltsub  41640  zm1nn  41641  nn0resubcl  41642  subsubelfzo0  41661  bgoldbtbndlem2  42019  ply1mulgsumlem2  42500  ltsubaddb  42629  ltsubsubb  42630  ltsubadd2b  42631
  Copyright terms: Public domain W3C validator