MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restuni 21168
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
restuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21toptopon 20924 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 resttopon 21167 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
42, 3sylanb 490 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5 toponuni 20921 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
64, 5syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   cuni 4588  cfv 6049  (class class class)co 6813  t crest 16283  Topctop 20900  TopOnctopon 20917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-fi 8482  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952
This theorem is referenced by:  restuni2  21173  restcld  21178  restopn2  21183  neitr  21186  restcls  21187  restntr  21188  rncmp  21401  cmpsublem  21404  cmpsub  21405  fiuncmp  21409  connsubclo  21429  connima  21430  conncn  21431  nllyrest  21491  cldllycmp  21500  lly1stc  21501  llycmpkgen2  21555  1stckgen  21559  txkgen  21657  xkopjcn  21661  xkococnlem  21664  cnextfres1  22073  cnextfres  22074  cncfcnvcn  22925  cnheibor  22955  evthicc  23428  psercn  24379  abelth  24394  connpconn  31524  cvmscld  31562  cvmsss2  31563  cvmliftmolem1  31570  cvmliftlem10  31583  cvmlift2lem9  31600  cvmlift2lem11  31602  cvmlift2lem12  31603  cvmlift3lem7  31614  ivthALT  32636  ptrest  33721  poimirlem29  33751  poimirlem30  33752  poimirlem31  33753  poimir  33755  cncfuni  40602  cncfiooicclem1  40609  stoweidlem28  40748  dirkercncflem4  40826  fourierdlem42  40869
  Copyright terms: Public domain W3C validator