MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopnb 21173
Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopnb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1235 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
2 simpr2 1233 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐵𝐴)
31, 2sstrd 3746 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐴)
4 df-ss 3721 . . . . . 6 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶𝐴) = 𝐶)
53, 4sylib 208 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐴) = 𝐶)
65eqcomd 2758 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶 = (𝐶𝐴))
7 ineq1 3942 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐶 → (𝑣𝐴) = (𝐶𝐴))
87eqeq2d 2762 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐶 → (𝐶 = (𝑣𝐴) ↔ 𝐶 = (𝐶𝐴)))
98rspcev 3441 . . . . 5 ((𝐶𝐽𝐶 = (𝐶𝐴)) → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴))
109expcom 450 . . . 4 (𝐶 = (𝐶𝐴) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
116, 10syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
12 inass 3958 . . . . . 6 ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴𝐵))
13 simprr 813 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐴))
1413ineq1d 3948 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵))
15 simplr3 1262 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐶𝐵)
16 df-ss 3721 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐶)
1715, 16sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1817adantrr 755 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1914, 18eqtr3d 2788 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
20 simplr2 1260 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐵𝐴)
21 sseqin2 3952 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
2220, 21sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
2322ineq2d 3949 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2423adantrr 755 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2512, 19, 243eqtr3a 2810 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐵))
26 simplll 815 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
27 simprl 811 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝑣𝐽)
28 simplr1 1258 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐵𝐽)
29 inopn 20898 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝐵𝐽) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1473 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
3125, 30eqeltrd 2831 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶𝐽)
3231rexlimdvaa 3162 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴) → 𝐶𝐽))
3311, 32impbid 202 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
34 elrest 16282 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3534adantr 472 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3633, 35bitr4d 271 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043  cin 3706  wss 3707  (class class class)co 6805  t crest 16275  Topctop 20892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-rest 16277  df-top 20893
This theorem is referenced by:  restopn2  21175  cxpcn3  24680  pnfneige0  30298  fourierdlem62  40880  fouriersw  40943
  Copyright terms: Public domain W3C validator