MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopn2 21203
Description: The if 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 4619 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵 (𝐽t 𝐴))
2 elssuni 4619 . . . . . . 7 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
3 eqid 2760 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
43restuni 21188 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
52, 4sylan2 492 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
65sseq2d 3774 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 (𝐽t 𝐴)))
71, 6syl5ibr 236 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵𝐴))
87pm4.71rd 670 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
9 simpll 807 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 simplr 809 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐽)
11 ssid 3765 . . . . . 6 𝐴𝐴
1211a1i 11 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐴)
13 simpr 479 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
14 restopnb 21201 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝐴𝐽𝐴𝐴𝐵𝐴)) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
159, 10, 10, 12, 13, 14syl23anc 1484 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
1615pm5.32da 676 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → ((𝐵𝐴𝐵𝐽) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
178, 16bitr4d 271 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵𝐽)))
18 ancom 465 . 2 ((𝐵𝐴𝐵𝐽) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴))
1917, 18syl6bb 276 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   cuni 4588  (class class class)co 6814  t crest 16303  Topctop 20920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972
This theorem is referenced by:  restdis  21204  perfopn  21211  llyrest  21510  nllyrest  21511  llyidm  21513  nllyidm  21514  lly1stc  21521  qtoprest  21742  xrtgioo  22830  lhop  23998  efopnlem2  24623  cvmopnlem  31588  cvmlift2lem9a  31613  cvmlift2lem9  31621  cvmlift3lem6  31634
  Copyright terms: Public domain W3C validator