MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthauslem 21369
Description: Lemma for resthaus 21374 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽𝐴)
2 f1oi 6335 . . 3 ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽)
3 f1of1 6297 . . 3 (( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
5 inss2 3977 . . . . 5 (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽
6 resabs1 5585 . . . . 5 ((𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10 eqid 2760 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1110toptopon 20924 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
129, 11sylib 208 . . . . . 6 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
13 idcn 21263 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1510cnrest 21291 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1614, 5, 15sylancl 697 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16syl5eqelr 2844 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1810restin 21172 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) = (𝐽t (𝑆 𝐽)))
1918oveq1d 6828 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2842 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1477 1 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715   cuni 4588   I cid 5173  cres 5268  1-1wf1 6046  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  t crest 16283  Topctop 20900  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-fin 8125  df-fi 8482  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cn 21233
This theorem is referenced by:  restt0  21372  restt1  21373  resthaus  21374
  Copyright terms: Public domain W3C validator