MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restfpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restfpw 21031
Description: The restriction of the set of finite subsets of 𝐴 is the set of finite subsets of 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
restfpw ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Proof of Theorem restfpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4880 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 inex1g 4834 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5 ssexg 4837 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
65ancoms 468 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
7 restval 16134 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
84, 6, 7syl2anc 694 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
9 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵)
11 elfpw 8309 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
1211simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥
15 ssfi 8221 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 695 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
17 elfpw 8309 . . . . . 6 ((𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ ((𝑥𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥𝐵) ∈ Fin))
1810, 16, 17sylanbrc 699 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
19 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵))
2018, 19fmptd 6425 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
21 frn 6091 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
238, 22eqsstrd 3672 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
24 elfpw 8309 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin))
2524simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
2625adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
27 df-ss 3621 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 𝑥)
2826, 27sylib 208 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) = 𝑥)
294adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
306adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
31 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵𝐴)
3226, 31sstrd 3646 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
3324simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3433adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3532, 34, 11sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
36 elrestr 16136 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3729, 30, 35, 36syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3828, 37eqeltrrd 2731 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3938ex 449 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵)))
4039ssrdv 3642 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
4123, 40eqssd 3653 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cmpt 4762  ran crn 5144  wf 5922  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  t crest 16128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-rest 16130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator