MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restdis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restdis 21204
Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restdis ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 21021 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
21adantr 472 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
3 elpw2g 4976 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
43biimpar 503 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
5 restopn2 21203 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
62, 4, 5syl2anc 696 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
7 selpw 4309 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
8 sstr 3752 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
98expcom 450 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
109adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
11 selpw 4309 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1210, 11syl6ibr 242 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
1312pm4.71rd 670 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
147, 13syl5bb 272 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
156, 14bitr4d 271 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
1615eqrdv 2758 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  𝒫 cpw 4302  (class class class)co 6814  t crest 16303  Topctop 20920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972
This theorem is referenced by:  dislly  21522  xkopt  21680
  Copyright terms: Public domain W3C validator