Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rest0 21021
 Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4823 . . . 4 ∅ ∈ V
2 restval 16134 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 707 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4 in0 4001 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ ∅) = ∅
51elsn2 4244 . . . . . . 7 ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
64, 5mpbir 221 . . . . . 6 (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
8 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅))
97, 8fmptd 6425 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
10 frn 6091 . . . 4 ((𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅} → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
119, 10syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
123, 11eqsstrd 3672 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ⊆ {∅})
13 resttop 21012 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) ∈ Top)
141, 13mpan2 707 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ∈ Top)
15 0opn 20757 . . . 4 ((𝐽t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1716snssd 4372 . 2 (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽t ∅))
1812, 17eqssd 3653 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690   ↾t crest 16128  Topctop 20746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-top 20747  df-bases 20798 This theorem is referenced by:  fiuncmp  21255  xkouni  21450  icccmp  22675  cncfiooicc  40425
 Copyright terms: Public domain W3C validator