MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuss 22286
Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ressuss (𝐴𝑉 → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2770 . . . . 5 (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
31, 2ussval 22282 . . . 4 ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
43oveq1i 6802 . . 3 (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5 fvex 6342 . . . . 5 (UnifSet‘𝑊) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (UnifSet‘𝑊) ∈ V)
7 fvex 6342 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
87, 7xpex 7108 . . . . 5 ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V)
10 sqxpexg 7109 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
11 restco 21188 . . . 4 (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
126, 9, 10, 11syl3anc 1475 . . 3 (𝐴𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
134, 12syl5eqr 2818 . 2 (𝐴𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
14 inxp 5393 . . . . 5 (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
15 incom 3954 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
16 eqid 2770 . . . . . . . 8 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
1716, 1ressbas 16136 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊s 𝐴)))
1815, 17syl5eqr 2818 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊s 𝐴)))
1918sqxpeqd 5281 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴))))
2014, 19syl5eq 2816 . . . 4 (𝐴𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴))))
2120oveq2d 6808 . . 3 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))))
2216, 2ressunif 22285 . . . 4 (𝐴𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊s 𝐴)))
2322oveq1d 6807 . . 3 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))))
24 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘(𝑊s 𝐴)) = (Base‘(𝑊s 𝐴))
25 eqid 2770 . . . . 5 (UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊s 𝐴))
2624, 25ussval 22282 . . . 4 ((UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴))
2726a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)))
2821, 23, 273eqtrd 2808 . 2 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)))
2913, 28eqtr2d 2805 1 (𝐴𝑉 → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cin 3720   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  s cress 16064  UnifSetcunif 16158  t crest 16288  UnifStcuss 22276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-unif 16172  df-rest 16290  df-uss 22279
This theorem is referenced by:  ressust  22287  ressusp  22288  ucnextcn  22327  reust  23387  qqhucn  30370
  Copyright terms: Public domain W3C validator