Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressprdsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprdsds 22369
 Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
ressprdsds.h (𝜑𝐻 = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
ressprdsds.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s (𝜑𝑆𝑈)
ressprdsds.t (𝜑𝑇𝑉)
ressprdsds.i (𝜑𝐼𝑊)
ressprdsds.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑋)
ressprdsds.a ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
ressprdsds (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6957 . . . . 5 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
21adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑍)
4 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
5 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
64, 5ressds 16267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅s 𝐴)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅s 𝐴)))
87oveqd 6822 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥)))
98mpteq2dva 4888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
109adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
1110rneqd 5500 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
1211uneq1d 3901 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
1312supeq1d 8509 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
15 eqid 2752 . . . . . . 7 (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
1716adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑈)
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
1918adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑋)
2120ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
2221adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
23 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
244, 23ressbasss 16126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
2625ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27 ss2ixp 8079 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
29 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))
30 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇𝑉)
32 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅s 𝐴) ∈ V
3332rgenw 3054 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V)
35 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 16335 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)))
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 16335 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
3828, 36, 373sstr4d 3781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐻)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
4140fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
4239, 41syl5eq 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
4443fveq2d 6348 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
4538, 42, 443sstr4d 3781 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
4645adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
4744adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
4846, 47sseqtrd 3774 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
49 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
5048, 49sseldd 3737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
51 simprr 813 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5248, 51sseldd 3737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
53 eqid 2752 . . . . . . 7 (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 16338 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
5531adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑇𝑉)
5633a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V)
5742adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
5849, 57eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
5951, 57eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
60 eqid 2752 . . . . . . 7 (dist‘(𝑅s 𝐴)) = (dist‘(𝑅s 𝐴))
61 eqid 2752 . . . . . . 7 (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 16338 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtr4d 2796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔))
64 ressprdsds.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘𝑌)
6543fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
6664, 65syl5eq 2798 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
6766oveqdr 6829 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔))
68 ressprdsds.e . . . . . . 7 𝐸 = (dist‘𝐻)
6940fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
7068, 69syl5eq 2798 . . . . . 6 (𝜑𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
7170oveqdr 6829 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔))
7263, 67, 713eqtr4d 2796 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
732, 72eqtr2d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
7473ralrimivva 3101 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
75 mptexg 6640 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) ∈ V)
7618, 75syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) ∈ V)
77 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))
7832, 77dmmpti 6176 . . . . . 6 dom (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = 𝐼
7978a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = 𝐼)
8029, 31, 76, 30, 79, 61prdsdsfn 16319 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))))
8142sqxpeqd 5290 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))))
8270, 81fneq12d 6136 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))))
8380, 82mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
84 mptexg 6640 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼𝑅) ∈ V)
8518, 84syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) ∈ V)
86 dmmptg 5785 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → dom (𝑥𝐼𝑅) = 𝐼)
8721, 86syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐼𝑅) = 𝐼)
8814, 16, 85, 15, 87, 53prdsdsfn 16319 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))))
8944sqxpeqd 5290 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))))
9066, 89fneq12d 6136 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))))
9188, 90mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92 xpss12 5273 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
9345, 45, 92syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
94 fnssres 6157 . . . 4 ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9591, 93, 94syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
96 eqfnov2 6924 . . 3 ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
9783, 95, 96syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
9874, 97mpbird 247 1 (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332   ∪ cun 3705   ⊆ wss 3707  {csn 4313   ↦ cmpt 4873   × cxp 5256  dom cdm 5258  ran crn 5259   ↾ cres 5260   Fn wfn 6036  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Xcixp 8066  supcsup 8503  0cc0 10120  ℝ*cxr 10257   < clt 10258  Basecbs 16051   ↾s cress 16052  distcds 16144  Xscprds 16300 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-hom 16160  df-cco 16161  df-prds 16302 This theorem is referenced by:  resspwsds  22370  prdsbnd2  33899
 Copyright terms: Public domain W3C validator